Если на машине, то не помешает обратиться в Российское отделение приграничного города, для получения таких же справок в России и только после этого уже двигаться домой.

по-моему в любом случае за место прав придется получать временное разрешение "времянка" "зеленка" (зеленая картонная карточка) сразу после пересечения границы

Выдаётся где и кем?

С правами сложнее...

Граждане, утратившие водительское удостоверение, могут участвовать в дорожном движении в качестве водителей транспортных средств только на основании временных разрешений, выдаваемых в порядке, установленном пунктом 44 Инструкции о порядке организации работы по приемку квалификационных экзаменов...., утвержденной Приказом МВД России от 20 июля 2000 г. N 782.

Кусок Инструкции:

V. Порядок замены водительских удостоверений и выдачи
удостоверений взамен утраченных (похищенных)

38. Для замены водительского удостоверения в Государственную инспекцию представляются документы, указанные в пункте 38 Правил.
В случае сомнения в подлинности водительского удостоверения или проставленных в нем разрешающих отметок одним из документов, подтверждающих выдачу водительского удостоверения, может служить: водительская карточка (если ранее выдавалась), подтверждение о выдаче удостоверения другими Государственными инспекциями, временное разрешение, в котором указаны серия и номер водительского удостоверения, или документ о прохождении обучения при наличии в нем сведений о выданном водительском удостоверении, заверенных печатью Государственной инспекции.
В случае необходимости, а также при отсутствии указанных документов направляется запрос в Государственную инспекцию, выдавшую данное водительское удостоверение.
39. При осуществлении дополнительных проверок дата замены водительского удостоверения устанавливается с учетом времени на их проведение, но не позднее сроков, указанных в пунктах 7 и 10 Инструкции.
На период проведения проверок заявителю выдается временное разрешение с произведенной записью "Удостоверение на проверке", заверенной подписью должностного лица и печатью Государственной инспекции в порядке, установленном в пункте 44 Инструкции.
(в ред. Приказа МВД РФ от 01.08.2002 N 720)
Абзац исключен. - Приказ МВД РФ от 01.08.2002 N 720.
40. При замене водительского удостоверения, подтверждающего право на управление транспортными средствами нескольких категорий, и представлении водителем медицинской справки о годности к управлению одной или некоторыми из них разрешающие отметки в выдаваемом удостоверении проставляются только в соответствующих графах согласно медицинской справке.
Водительское удостоверение, взамен которого выдано новое, после аннулирования <*> возвращается владельцу.
--------------------------------
<*> Аннулирование осуществляется путем отрезания верхнего правого уголка удостоверения или проставления компостерных просечек во всех графах категорий транспортных средств.

Восстановление разрешающих отметок производится по заявлению гражданина без сдачи экзаменов после представления документов, указанных в пункте 38 Правил, соответствующей медицинской справки и погашенного водительского удостоверения или других документов, подтверждающих наличие разрешающих отметок в ранее имевшемся водительском удостоверении.
41. После обмена прежнее водительское удостоверение по заявлению владельца возвращается ему после аннулирования.
42. При утрате (хищении) водительского удостоверения новое удостоверение выдается при представлении документов, указанных в пункте 38 Инструкции.
(п. 42 в ред. Приказа МВД РФ от 01.08.2002 N 720)
43. Найденные после утраты (хищения) водительские удостоверения или временные разрешения, взамен которых владельцам выданы новые, считаются недействительными и подлежат сдаче в Государственную инспекцию.
(п. 43 в ред. Приказа МВД РФ от 01.08.2002 N 720)
44. При необходимости на период проведения проверок и оформления водительского удостоверения взамен утраченного (похищенного) заявителю при представлении документов, указанных в пункте 38 Инструкции, может выдаваться временное разрешение на право управления транспортными средствами соответствующих категорий сроком до 2-х месяцев.
В выдаваемом временном разрешении вместо серии и номера водительского удостоверения производится запись "Взамен утраченного". Указанные временные разрешения учитываются по отдельному реестру.
По окончании проверок данное временное разрешение изымается и приобщается к материалам, послужившим основанием для его выдачи, а водителю выдается водительское удостоверение.
(в ред. Приказа МВД РФ от 01.08.2002 N 720)
45. Замена водительского удостоверения, за исключением случаев, указанных в пунктах 47 и 48 Инструкции, выдача водительского удостоверения взамен утраченного (похищенного), а также временного разрешения производится без сдачи экзаменов.
(п. 45 в ред. Приказа МВД РФ от 01.08.2002 N 720)
46. Возврат водительских удостоверений лицам, лишенным в соответствии с законодательством Российской Федерации права управления транспортными средствами, после окончания (сокращения) срока лишения указанного права производится после представления медицинской справки без сдачи экзаменов.
47. Если владелец иностранного водительского удостоверения переезжает на постоянное жительство в Российскую Федерацию, его водительское удостоверение на территории Российской Федерации считается недействительным по истечении 60 дней с даты получения в органах внутренних дел Российской Федерации разрешения на постоянное проживание в Российской Федерации или с даты въезда на территорию Российской Федерации, если разрешение на постоянное проживание было получено в дипломатическом представительстве либо консульском учреждении Российской Федерации в иностранном государстве, и может быть заменено на соответствующее российской водительское удостоверение.
(п. 47 в ред. Приказа МВД РФ от 21.02.2002 N 148)
48. Замена водительских удостоверений лицам, указанным в пункте 47 Инструкции, осуществляется после сдачи теоретического экзамена при представлении: заявления; паспорта или иного документа, удостоверяющего личность; медицинской справки; квитанции об оплате изготовления и (или) выдачи российского водительского удостоверения; иностранного водительского удостоверения, а в случае, если оно не соответствует требованиям Конвенции о дорожном движении 1968 года, и его перевода на русский язык, заверенный в установленном порядке.
В материалы, послужившие основанием для выдачи водительского удостоверения, подшивается иностранное национальное водительское удостоверение, взамен которого выдано российское удостоверение, а в случае, если обмениваемое удостоверение не соответствует требованиям Конвенции о дорожном движении 1968 года, и его перевод на русский язык, заверенный в установленном порядке.
По желанию владельца иностранное национальное водительское удостоверение может быть ему возвращено, при этом в материалы, послужившие основанием для выдачи водительского удостоверения, подшивается копия национального водительского удостоверения и (или) его перевод на русский язык, заверенный в установленном порядке.
(п. 48 в ред. Приказа МВД РФ от 21.02.2002 N 148)
49. Замена водительских удостоверений с отличительным знаком "SU" (СССР), полученных в бывших республиках Союза ССР до 1 января 1992 года, и национальных водительских удостоверений государств - участников СНГ, выданных взамен указанных, если это подтверждается соответствующими документами, производится без сдачи экзаменов.
50. При выдаче водительских удостоверений гражданам по месту пребывания либо в случаях, указанных в пункте 6 Инструкции, информация об этом направляется в Государственную инспекцию по месту жительства, где эти граждане зарегистрированы, для соответствующего учета (внесения в автоматизированные базы данных) выданных водительских удостоверений.

Резюме:
1) для получения временного разрешения требуется обратиться в ГИБДД за "новыми" правами взамен утраченных
2) может быть это можно сделать в Сочи - но сомнительно
3) надо позвонить в ГИБДД и у них все уточнить, т.к. как на практике это все делается я не знаю